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Je prends une équation diff et ce qui m’aide à avoir l’unicité de ma solution c’est le fait que je me suis donné une condition initiale, qui est très importante : sans elle y’a pas l’unicité. Et si on considère maintenant un problème de Cauchy (une équation diff avec une donnée initiale)

$$\begin{cases} y' = f(t, y(t)), \\ y(t_0) = y_0, \end{cases}$$

alors si $f$ est continue sur $(I\times U)$ et localement lipschitzienne en la seconde variable (ll2v), on parle du théorème de Cauchy-Lipschitz, et il existe une unique solution notée $y \in C^1(I)$.

Prenons les équations diff naturelles qu’on a l’habitude, juste une et observons : $y' = y$

Alors comme $f \in C^1(\mathbb{R})$, l’équation $y' = y \quad \Longleftrightarrow \quad \exists K \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y(x)=Ke^x$

Et ça fait en énonçant le théorème.

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Théorème de Cauchy-Lipschitz

Soit $U\subset \mathbb{R}^n$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et soit $I$ un intervalle non vide de $\mathbb{R}$. Soit $f\in C^0(I\times U,\mathbb{R}^n)$. On suppose que $f$ est localement lipschitzienne en la seconde variable. On fixe $t_0\in I$ et $x_0\in U$. Alors il existe $\delta>0$ et $x\in C^1\big( (t_0-\delta,t_0+\delta)\cap I,\ U \big)$ tels que

$$\begin{cases} x'(t)=f(t, x(t)) & \text{dans } (t_0-\delta,t_0+\delta)\cap I,\\ x(t_0)=x_0. \end{cases}$$

De plus, une telle solution est unique.

Ce théorème est très utile du moment que les hypothèses sont vérifiées : on a l’existence et l’unicité de la solution. De plus, ça va très loin et nous aide à obtenir la maximalité de la solution sur l’intervalle $I$. Si jamais notre $I$ est égale à $\mathbb{R}$, alors là on dit que la solution est globale.

Ceci dit, vérifier des hypothèses nous montrent qu’il existe des fonctions qui n’en vérifient pas du tout. Prenons l’équation diff : $y' = 2\sqrt{|y|}$

Une équation diff comme les autres, mais elle a une particularité : avec la fonction $f(x, y) = 2\sqrt{|y|}$ qui est bien entendue continue mais pas $C^1(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$, elle n’est pas localement lipschitzienne car pas dérivable. Une fonction qui n’est pas globalement lipschitzienne n’est pas localement lipschtzienne. Cela implique que la théorie de Cauchy-Lipschitz ne s’applique pas, ainsi il faut trouver un autre moyen pour résoudre ce problème.

Supposons que $y$ est strictement positif, cela donne que $(\sqrt{y})' = 1$, on intègre de gauche à droite et on trouve qu’il existe un $k \in \mathbb{R}$ tel que $\sqrt{y} = x - k$. Cela nous impose que $x - k$ soit positif car la racine carrée d’un nombre est toujours positive et donc $x \in [k, + \infty[$.

Voici une première solution : $y(x) = (x - k)^2 \text{ si } x \in [k, + \infty[ \text{ et nulle sinon}$

Soit $y < 0$, cela donne encore une deuxième solution : $y(x) = -(l - x)^2 \text{ si } x \in [- \infty, l[ \text{ et nulle sinon}$

La troisième solution : supposons que $y$ s’annule quelque part sur $I$, donc il existe $a, b \in \mathbb{R}$ tel que $a \leq b$ et $y(a) = 0 = y(b)$. Ce qu’on fait là, c’est une étude qualitative qui consiste à faire des va-et-viens en prenant des informations sur $y'$ pour déduire des hypothèses sur $y$ et vice-versa.

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Un autre exemple

Prendre : $y' = y - y^2$

Si je choisis la fonction $f$ avec $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ et $f(t, y) = y - y^2$. Comme $f$ est $C^1$, par le théorème des accroissements finis, $f$ est continue et lipschitzienne. Cela implique que les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sont vérifiées, et donc il existe une unique solution $y \in C^1(I)$ pour $I$ inclus dans $\mathbb{R}$ d’intérieur non vide. La solution est maximale sur $I$.

Première étape

Si $y$ prend la valeur 0 quelque part sur $I$, alors $y$ est constante et on obtient une solution globale (définie sur $\mathbb{R}$). Il est facile de démontrer ce résultat : soit en posant $m(t) = 1 - y(-t)$, soit en utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Deuxième étape

Supposons que $y$ ne s’annule jamais sur $I$, donc on peut diviser par $y(1-y)$ : $\frac{y'}{y(1-y)} = 1$

On utilise la décomposition en éléments simples : $\frac{1}{y(1-y)} = \frac{1}{y} + \frac{1}{1-y}$

On obtient : $\frac{y'}{y} + \frac{y'}{1-y} = 1$

En intégrant on trouve : $\ln|y| - \ln|1-y| = t + C$

Soit : $\ln\left|\frac{y}{1-y}\right| = t + C$

D’où : $y(t) = \frac{Ke^t}{1 + Ke^t} \text{ avec } K = e^C$

Comme solutions particulières on a $y(t) = 0$ et $y(t) = 1$ qui sont constantes sur $\mathbb{R}$.

Pour les solutions non constantes :

• Si $K > 0$ : la solution tend vers $1$ quand $t \to +\infty$ et vers $0$ quand $t \to -\infty$
• Si $K < 0$ : la solution est négative ou supérieure à $1$

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Conclusion

Le théorème de Cauchy-Lipschitz nous garantit l’existence et l’unicité de la solution si les hypothèses sont vérifiées. Sans ces hypothèses, on peut avoir plusieurs solutions comme on l’a vu avec l’équation $y' = 2\sqrt{|y|}$.

L’analyse qualitative en faisant des va-et-viens entre $y'$ et $y$ aide à comprendre le comportement des solutions.